STEP #04 – IL PRINCIPIO FISICO

Pendolo di Foucault realizzato all'interno del Liceo Scientifico Galileo Galilei a Siena

LA LEGGE ORARIA

Si consideri un sistema rotante in

\mathbb{R}^3

. L'energia cinetica

T

del sistema essere data dalla forma

T={\frac {m}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )^{2}={\frac {m}{2}}\mathbf {v} ^{2}+m\mathbf {v} \cdot (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {m}{2}}(\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )^{2}

dove

\mathbf {\Omega }

è la velocità angolare dell'intero sistema diretta lungo l'asse istantaneo di rotazione.

Essa rappresenta la somma di un termine cinetico vero e proprio, di uno proveniente dalla forza di Coriolis e da uno centrifugo.

Considerando ora una piccola velocità angolare, l'ultimo termine della precedente equazione può essere senza problemi trascurato. Inoltre per comodità si porrà la massa del sistema uguale a uno.

Poiché il moto del pendolo avviene su un piano perpendicolare alla superficie terrestre in un punto di latitudine

\alpha

, la velocità angolare della Terra (

\mathbf {\Omega }

) può essere semplicemente scritta in componenti (prendendo gli assi cartesiani solidali al piano in cui si svolge il moto) in questa maniera:

{\mathbf {\Omega }}=(\Omega \cos \alpha ,0,\Omega \sin \alpha )

V

V={\frac {\omega ^{2}}{2}}{\mathbf {x}}^{2}

e quindi la lagrangiana del sistema vale

{\mathcal {L}}=T-V={\frac {{\mathbf {v}}^{2}}{2}}+{\mathbf {v}}\cdot ({\mathbf \Omega }\times {\mathbf {x}})-{\frac {\omega ^{2}}{2}}{\mathbf {x}}^{2}

Inserendo questa quantità nelle equazioni di Eulero-Lagrange si ottiene, ricordando l'antisimmetria del prodotto vettoriale,

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\mathbf {v}}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\mathbf {x}}}}}={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}({\mathbf {v}}+({\mathbf {\Omega }}\times {\mathbf {x}}))-({\mathbf {v}}\times {\mathbf {\Omega }})+\omega ^{2}{\mathbf {x}}={\frac {{\mathrm {d}}{\mathbf {v}}}{{\mathrm {d}}t}}+2({\mathbf \Omega }\times {\mathbf {v}})+\omega ^{2}{\mathbf {x}}=0

A questo punto è possibile scrivere il prodotto

\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v}

per componenti. Si noti tuttavia come la componente

z

di questo prodotto sia totalmente ininfluente per la dinamica del sistema: il moto infatti è vincolato al piano e tale componente verrebbe in ogni caso annullata dalla reazione vincolare.

Il risultato è dato dunque dal vettore bidimensionale